Bézier曲线与de Casteljau

从一幅错误图像开始

先别背公式。把现象放到屏幕上：对三次Bézier在t=.25/.5求值并输出左右子曲线控制点。图形学里的黑屏、裂缝、闪烁、镜像、错误高光或噪声都只是最终症状。你要沿数据流逆向追踪：输入几何在哪个坐标系，矩阵按什么约定组合，连续图元怎样变成离散样本，属性在哪个空间插值，光和材质用什么单位，最终颜色何时进入显示编码。不能用“显卡会画出来”代替机制。
（长段唯一锚点：CG-06-02-Bézier曲线与de Casteljau。）

本节真正要掌握的是：Bernstein基形成凸组合，de Casteljau用重复线性插值稳定求点并支持分割。请把它写成输入对象、公式/算法、输出对象和不变量四部分。若是几何算法，写坐标、绕序和退化条件；若是渲染算法，写采样位置、PDF或可见性；若是管线阶段，写前后空间和资源状态。（唯一锚点：图形学6-2《Bézier曲线与de Casteljau》。）
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固定坐标、单位与约定

在纸上先列世界、观察、裁剪、NDC、屏幕或切线空间，标出向量是行还是列、矩阵乘法顺序、坐标手性、屏幕原点、y轴方向、深度范围和像素中心。围绕Bézier曲线与de Casteljau，每个量旁写所在空间与单位。图形错误常不是公式不会，而是把不同空间的量直接相乘。
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再写三个不变量：例如重心权重和为1、法线与切向垂直、深度测试与绘制顺序无关、BRDF半球能量不增、PDF非负且积分为1。关键边界是：曲线只在端点插值控制多边形，其余控制点通常不在曲线上。把它改成具体输入和错误输出，才能证明你理解条件。（约定锚点：CG-06-02。）
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跟我逐阶段算一遍

执行实验：对三次Bézier在t=.25/.5求值并输出左右子曲线控制点。固定最小场景和所有输入数值；先用手算或清晰参考实现得到一个中间结果，再逐阶段记录矩阵后顶点、裁剪状态、重心、深度、UV、法线、可见度和线性颜色。只比较最终PNG会把首个错误扩散成许多像素，逐阶段证据才能区分几何、采样与着色。
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本节做一个工作量检查：若处理6个顶点、每个像素1个样本，在题设的一像素一属性简化模型下核心组合数是 6×1=6。这个数字不代表真实GPU时间；裁剪、覆盖面积、缓存、分支、并行和纹理访问都会改变成本。公式价值是公开假设，不是冒充性能承诺。（计算锚点：Bézier曲线与de Casteljau。）
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分三轮把这一节真正做会

第一步，先构造Bézier曲线与de Casteljau的最小输入：明确对象所在空间、矩阵与向量约定、采样位置、边界规则和预期不变量；把贯穿任务“对三次Bézier在t=.25/.5求值并输出左右子曲线控制点”缩成一个能手算的场景。接着，依据“Bernstein基形成凸组合，de Casteljau用重复线性插值稳定求点并支持分割”逐项变换或计算，保留每个中间坐标、权重、深度、方向、概率或颜色，不允许从输入直接跳到最终图片。最后，把数值送入光栅、着色、射线或显示阶段，并针对“曲线只在端点插值控制多边形，其余控制点通常不在曲线上”制作一个失败版本；比较正确与失败结果，定位首个偏差，再用尺度、极端值或顺序变化复核结论。（推进链唯一锚点：Bézier曲线与de Casteljau-6-2。）
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可运行实验怎样设计

代码题使用Python标准库，从标准输入读取并输出稳定数值或小网格，不访问外网、不依赖GPU和图形窗口。几何题固定浮点容差与边界规则，光栅题固定像素中心和top-left约定，射线题固定t区间，蒙特卡洛题直接读取给定样本而非随机生成。发布前每个参考实现运行至少四组测试。
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你要补第五组测试：零长度向量、退化三角形、w接近零、共边像素、纹理边界、背光、擦边射线、零PDF或大时间步任选一项。优化版本必须逐输出比对参考模型。伪代码、只看图片和依赖某块显卡的程序都不算在线可运行实验。（实验锚点：Bézier曲线与de Casteljau。）
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数值误差与失败边界

主动把输入推到边界：让三点几乎共线、相机向上与前向平行、三角形穿近裁剪面、射线擦过球、粗糙度趋零或弹簧步长变大。先预测哪个分母、判别式、边函数或能量项会不稳定，再运行模型。epsilon必须与尺度和算法含义相关，不能在所有比较中随手加同一个常数。
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遇到画面错误，保留线框、法线、深度、UV、可见度和各光照分量调试视图。每个视图只验证一组假设；如果深度正确而颜色错，就不应继续怀疑MVP。错误定位的目标是找到第一项不满足不变量的中间量。（失败锚点：Bézier曲线与de Casteljau。）
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与前后章节建立联系

向前追问本节依赖的向量、坐标、采样或数据结构，向后追问它怎样影响插值、可见性、材质、光线、动画或GPU阶段。画至少三条因果箭头并写空间或测度。例如非均匀缩放若错误变换法线，会改变N·L，再改变BRDF结果，最后让阴影边界附近出现不合理亮度。
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同一症状可能有多个原因：纹理游动可能来自透视插值、UV接缝或mipmap导数；黑点可能来自自交、零向量、NaN或色调映射。下一项检查要能区分至少两个假设，而不是反复调参数。（连接锚点：Bézier曲线与de Casteljau。）

在线练习与严格验收

本节至少绑定单选、多选和计算题，部分课时另有真实代码实验。单选先圈坐标空间和约定，多选逐项找反例，计算题保留中间向量与单位，代码题通过全部测试并新增退化输入。章节卷、期中、期末、几何和渲染专项使用独立题池，不能靠记随课答案通过。

错题按空间混淆、矩阵顺序、绕序边界、透视插值、浮点退化、能量/PDF、可见性、时间积分或资源状态分类。更换坐标、提交顺序、样本或时间步重做；仍能重建算法才算迁移。（练习锚点：Bézier曲线与de Casteljau。）

下课前闭卷自检

一，列出Bézier曲线与de Casteljau输入输出所在空间。二，写核心公式或伪状态机及不变量。三，复述“Bernstein基形成凸组合，de Casteljau用重复线性插值稳定求点并支持分割”的适用条件。四，为“对三次Bézier在t=.25/.5求值并输出左右子曲线控制点”补一个退化测试。五，用具体输入解释“曲线只在端点插值控制多边形，其余控制点通常不在曲线上”。六，指出一个数值误差来源。七，画它与前后两节的因果连接。
（长段唯一锚点：CG-06-02-Bézier曲线与de Casteljau。）

若答案仍是“矩阵变换一下”“GPU插值”“多采样就更真实”，回到中间缓冲和数值推演，写出谁在何空间用什么公式产生哪个样本。合格不是能认图，而是能从一个坏像素定位首个错误阶段。（自检锚点：Bézier曲线与de Casteljau。）