连续型随机变量的函数

先把随机对象说清楚

单调变换可用分布函数或Jacobian，非单调变换必须分支求和。

概率题第一步不是找数字，而是写随机试验、样本空间、事件或随机变量。接着标明条件、分布类型和所求量。若对象没定义清楚，同一个符号可能被误当成概率、密度、分布函数或估计量，后面的计算即使整齐也没有意义。

跟我完成标准模型

XU(0,1)，Y=2X，则YU(0,2)，密度1/2。

完成计算后立即做三项检查：概率是否在[0,1]，质量或密度是否归一化，期望与方差的量级是否符合随机变量取值。统计题还要检查统计量分布的前提、自由度和拒绝域方向。条件概率要明确条件事件，连续型点概率为0不能误解为“不可能”。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： 单调y=g(x)时 f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|d g^{-1}/dy|。边界：先求Y支持集；多对一映射对所有反函数分支求和。

请连同条件抄卡：互斥不等于独立，零相关通常不等于独立；密度值可以大于1，但密度积分必须为1；总体参数是固定未知量，统计量是样本的随机函数，观察值才是数据代入后的数字。条件一变，公式入口也要随之改变。

当面追问与反查

我会追问：分母为何非零？积分区域从哪里来？是否漏掉离散质量或连续部分？估计量的期望对所有参数值是否等于参数？若只会报答案，先回到模型把事件树、联合表、积分区域或抽样分布画出来。反查优先用补事件、边缘求和、全概率、期望线性或模拟量级。

迁移任务

求Y=X²在X~U(-1,1)下的密度。

页面的单选、多选、计算题都要完成。选择题逐项注明公式条件；计算题写出对象、分布或事件、关键求和积分、最终结果与归一化检查。24小时后闭卷重做计算题，七天后跨章节混合，记录第一处错误及纠正动作。

严格验收

合上正文，用一分钟复述“随机对象—条件/分布—公式—检查”。再把模型中的参数或条件事件改掉，判断原路线是否仍成立。能够重建而不是背选项，才算通过本节。