利用变量代换解微分方程

先识别对象，再选择工具

换元目标是暴露可分离或线性结构，必须同时变换导数。

读题后先把“已知—所求—约束”写成三行。已知决定对象的结构，所求决定是算值、判敛还是证明，约束决定公式是否合法。强化题真正的分水岭不是记忆公式数量，而是能否在第一分钟排除不适用的方法，并为选中的方法写出成立条件。

陪你完成一个标准模型

方程y′=(x+y)/x，令v=y/x，则y=xv、y′=v+xv′，得到xv′=1，可积分v=ln|x|+C，故y=xln|x|+Cx。

现在停笔复盘：第一处决定路线的信息是什么？每个等号根据哪条定义、定理或代数变形？若删掉一个条件，哪一步最先失效？把答案说清后再继续。微分方程要把解代回原式，多元题要检查区域和变量，级数要区分绝对与条件收敛，曲线曲面积分还要核对方向。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 一阶齐次型y′=F(y/x)令v=y/x；含ax+by的结构可令u=ax+by。边界：x=0通常不在换元定义域，解的有效区间需单独说明。

抄卡片时不可只留主公式，必须保留符号、条件、方向或区域以及失效边界。公式是压缩后的推理链，不是脱离前提的口令。复习时遮住正文，凭这张卡重做模型；若无法说明每个符号指什么，就回到上一段补齐，而不是机械多抄一遍。

易错点与独立反查

第一类错误是对象混淆，例如把偏导存在当成可微、把通项趋零当成级数收敛；第二类是边界遗漏，例如换序不重画区域、Green公式不检查方向；第三类是算完不验。数值结果至少用代回、求导、量级、对称性或特殊点中的一种独立检查，证明题则尝试构造反例检查条件必要性。

迁移任务

对y′=(y/x)²完成v=y/x换元并检查v的平衡解。

页面配有单选、多选和计算题。选择题逐项写成立或失效的理由；计算题保留识型、关键公式、边界处理、结果与反查。24小时后闭卷重做计算题，七天后与本章另外两节混合限时。错题只记录第一处错误及修正动作，避免抄一页看似完整却无法迁移的答案。

本节严格验收

合上正文，用一分钟讲清“题型信号—适用条件—完整路线—检查方法”。再把模型中的常数、区域或方向改掉，判断原路线是否仍然有效。能处理这个小变式，才算掌握；只能复述原题结论，则回到公式卡补上缺失边界。