证明数列极限存在

接住上一课

递推数列常先证单调与有界，再由定理得到收敛，最后设极限代入递推并筛选根。顺序不能颠倒。

人对人拆题

a1在(0,2)，a_{n+1}=sqrt(2+a_n)。可归纳证0<a_n<2并单调递增，所以收敛；设极限A，得A=sqrt(2+A)，结合范围取A=2。

现在请停笔十秒，先说出题目对象、目标、已知条件和首选工具。强化阶段的速度来自稳定识型，不来自跳步。把第一处决定路线的条件圈出来，再继续计算。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 单调有界数列必收敛。递增数列需有上界，递减数列需有下界。递推代极限只在已证明收敛且递推函数在极限点连续时合法；方程的其他根用范围排除。

公式卡必须连同条件记忆：极限等价替换要看乘除结构，Taylor要展开到首个不抵消阶，洛必达只用于规定不定式；答疑课的结论卡则要能指出高数、线代、概率各自的入口与验算方式。

第二次当场检查

完成主模型后，从反方向检查：极限用展开或数值取点，导数用差商，积分用求导，矩阵用乘法或秩，概率用归一化与[0,1]范围。若两条路线不一致，只定位第一处差异，不抄整段答案。

我会追问的易错点

常见问题不是算得慢，而是条件未写：把0/0当结果、左右极限未分、矩阵乘法交换、互斥当独立。答案必须写出方法成立的边界；边界一变，立即重新选工具。

迁移到下一题

为a_{n+1}=(a_n+2/a_n)/2建立收敛证明框架。

复述、练习与间隔重做

请遮住正文，重写“识型—条件—计算—反查”四行，并口头解释卡片中每个符号。随后完成页面单选、多选和计算题。计算题保留关键展开阶、区间、矩阵维数或概率条件。24小时后只重做错题，不看原答案，并记录第一处错误是否消失。