求解特征值与特征向量

接住上一课

入门课建立定义，本课完整执行特征多项式、求根、解齐次方程和归一化，并处理重根下特征向量不足的情形。

教师带你完成主模型

A=[[2,1],[1,2]]，det(A-λI)=(2-λ)²-1=(λ-1)(λ-3)，特征值为1、3，较大者3。λ=3时解得向量方向(1,1)，λ=1时方向(1,-1)。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

对每个λ单独解(A-λI)v=0。实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，并可正交对角化。一般矩阵可对角化需有n个线性无关特征向量。

我会追问的易错点

求出特征值后不求特征向量、不同λ共用同一行化简结果、重根就自动认为可对角化，是三类错误。

迁移到下一题

求[[1,1],[0,1]]的特征值和特征向量，判断为何二重特征值却只有一个方向。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 向量组无关 ⇔ 齐次组合仅零系数 ⇔ 列矩阵秩等于向量个数。边界：向量数超过空间维数必相关。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。