运动怎样变成函数：从路程表到瞬时速度

这一难题从哪里来

前两章研究数、方程和符号，这一章加入一个更难的对象：连续变化。中世纪的运动学讨论已经区分均匀运动与均匀变化，并尝试用图形表示强度随时间的变化；近代实验研究又把落体、抛射等问题推到定量层面。困难在于：一段时间的平均速度容易计算，但某一个瞬间并没有可直接相除的时间长度。

先别急着把现代公式倒回历史。你要像当时的研究者一样，先说清楚旧工具卡在哪里：是瞬时量无法直接相除，是曲边对象无法有限分割，还是无穷过程缺少误差标准。只有问题具体，新概念的必要性才看得见。

陪你推演

先用平均量逼近瞬时量。设路程s=t²，在t=2到t=4之间，平均速度为(16-4)/(4-2)=6；若把右端从4逐步移向2，商[(2+h)²-4]/h=4+h会趋近4。这里h不能一开始就等于0，否则出现0/0；它先表示非零时间间隔，再研究间隔缩小时商的稳定趋势。

请把每一步写成“对象—操作—保持的关系—得到的新对象”。涉及趋近时，先保留非零增量或有限部分和，再讨论极限；涉及面积时，写出分割与误差；涉及导数和积分时，分别说明局部变化与整体累积。

历史边界

不能把任何古代或中世纪运动图都称作现代函数图像，也不能把伽利略的实验工作直接等同微积分。历史联系在问题压力：运动要求把变量对应起来，并追问平均变化率的极限。函数、坐标和极限语言逐渐成熟后，瞬时速度才获得统一表达。

历史比较至少检查四件事：当时提出的原问题、实际采用的记号、允许操作的对象、可靠性的论证标准。结构相似不等于概念完全相同，缺少现代语言也不等于没有有效数学。把贡献和限制同时说出，才是严谨的史料判断。

与前后课连接

回看上一课留下的障碍，再回答本课的新方法解决了哪一部分、又留下什么。运动逼出变化率，切线把变化率几何化，面积要求累积，无穷过程提供技术，牛顿和莱布尼茨形成统一体系，严格化再明确这些运算何时可靠。这是一条问题链，不是六个人名卡片。

迁移任务

更换正文中的函数、区间或误差，重新手算；随后用一句现代语言概括方法，再写一句警告，说明这句现代概括不能原样归给早期作者。若只会报人物和年代，或只会套公式却解释不了方法为何出现，本课未通过。

本课验收

完成下方单选、多选和数值推演。选择题检查历史边界，数值题检查方法可执行性；草稿必须保留条件、等价步骤、误差或极限解释。