极坐标法计算二重积分

接住上一课

直角坐标法要求按水平或竖直扫描描述区域。遇到圆、扇形以及只依赖x²+y²的被积函数时，极坐标会让边界和 integrand 同时简化，但面积元必须随坐标变换改变。

教师带你完成主模型

在单位圆盘D上计算∬_D(x²+y²)dA。令x=r cosθ、y=r sinθ，0≤r≤1、0≤θ≤2π，且dA=r dr dθ。于是积分为∫_0^{2π}∫_0^1 r²·r dr dθ=2π·1/4=π/2。额外的r来自Jacobian，不能漏。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

极坐标边界应按射线读取：先确定角度区间，再对固定θ求从内边界到外边界的r。圆x²+y²=2x化为r=2cosθ，但还需结合r≥0确定θ范围。若区域不以原点为星形，可能需要分角或改回直角坐标。

我会追问的易错点

漏写面积元中的r、把θ上下限按度数直接代入、只变被积函数不变区域，是三类高频错误。完成后用函数最大值乘圆盘面积估计：本题0≤x²+y²≤1，所以结果应在0与π之间，π/2合理。

迁移到下一题

用极坐标计算单位圆盘上∬sqrt(x²+y²)dA，并说明为何径向函数与完整圆盘能先积θ；再处理第一象限四分之一圆盘比较系数变化。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。