从落体到轨道：同一引力规律如何统一天地

本课要解决的问题

地面物体下落与月球绕行能否由同一个随距离变化的相互作用解释？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

万有引力模型 F=GMm/r² 把地面重力和天体轨道放进同一数量关系。质量 m 的加速度为 a=GM/r²，与被吸引物质量约去；圆轨道还需 a=v²/r，由此得到 v²=GM/r 和周期平方与轨道半径立方成正比。

推导主线

距离从 r 增至 kr，引力加速度变为 GM/(kr)²=(1/k²)GM/r²。若距离加倍，加速度降为四分之一；若增至四倍，降为十六分之一。平方反比提供可由地面尺度、月球轨道与行星数据共同检验的桥梁。

完整例题

某处距中心为 R 时重力加速度为 g；距中心4R时为 g/16。若 g=9.6 m/s²，则新位置为0.6 m/s²。注意距离从天体中心量，不是从表面高度直接量。

严格边界

统一并不等于理论无边界。强引力场和高精度问题需广义相对论；实际天体还受多体摄动。历史检验依靠预测与观测一致，而不是一个著名故事瞬间完成。

课后闭环

从引力等于向心力推导圆轨道周期关系；再设计一张表比较 r、2r、3r、4r 处的加速度比例。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。