并查集与动态连通

本节进入 408 强化阶段的 并查集与动态连通。要求从定义出发完成真题级推演，并把过程写到可以复查。

状态模型与不变量

并查集以父指针森林表示集合；路径压缩缩短查找链，按大小或秩合并避免树退化。

开始计算前先列出输入、单位、下标与初始状态。算法题必须说明数据结构保存什么；硬件、操作系统和网络题必须画出字段或时间线。任何一步状态更新都要能指出依据。

例题推演

依次合并 0-1、2-3、1-2 后，0 与 3 属于同一集合。

正式作答时按“公式或规则—代入—中间状态—结论”书写。若有多次访问、调度或转发，用表格逐行记录，不能靠脑中跳步。完成后用极小输入、边界输入和一个反例复核。

易错边界

只修改一个根的父亲才是集合合并；把普通结点随意相连会破坏表示不变量。

选择题要逐项检查前提与量词；计算题要检查字节/比特、周期/秒、地址/块号等单位；算法题还要说明最坏复杂度、额外空间和终止性。

随课训练要求

1. 单选题必须解释另外三项为何错误。
2. 多选题漏选、多选均不得分。
3. 计算题保留推导；代码题必须通过四个独立用例，禁止样例硬编码。
4. 将错因标为知识、建模、状态更新、计算或审题，并在次日重做。

能得到一个数不等于掌握；能重建状态、解释规则并迁移到变式才算完成。