交流阻抗与相量

上一课用一个内阻描述直流端口。接上电感或电容后，为什么万用表看到的电流不仅变小，还与电压错开时间？正弦稳态下，微分会转成乘以 $j\omega$，于是可以像算电阻网络一样算复数网络。学完你应能独立由示波器的幅值与时差验证一个串联 RL 支路。

把 $v(t)=\sqrt{2}V\cos (\omega t+\varphi )$ 表成相量 $\underline{V}=V{e}^{j\varphi }$，这里通常用有效值。三种阻抗为

$$Z_R=R,\qquad Z_L=j\omega L,\qquad
Z_C=\frac1{j\omega C}.$$

直觉上，电感反对电流变化，频率越高越“堵”；电容靠反复充放电导通交流，频率越高阻抗越小。相量只适用于同一频率的稳态分量，开机暂态仍要回到微分方程。

计算 $R=100\Omega$、$L=10.0$ mH 串联接到 $f=1.00$ kHz、$10.0$ V 有效值电源。第一步，为何先算角频率？电感阻抗使用 $\omega =2\pi f$，所以

$$X_L=\omega L=2\pi (1000)(0.010)=62.83\Omega .$$

第二步，总阻抗 $Z=100+j62.83\Omega$，其大小

$$|Z|=\sqrt{100^2+62.83^2}=118.10\Omega ,$$

相角 $\theta ={\tan }^{-1}(62.83/100)=32.14^{\circ }$。第三步，

$$\underline I=\frac{10\angle0^\circ}{118.10\angle32.14^\circ}
=84.67\angle(-32.14^\circ)\ {\rm mA}.$$

电流滞后电压；实际有功功率 $P=I^{2}R\approx 0.717$ W，线圈理想电抗不消耗平均功率。学生可独立把频率改为二千赫，预测电流进一步减小、滞后角增大，然后扫频验证。

示波器测相位时，同时显示源电压和取样电阻电压；电阻电压与电流同相。若周期 $T$、两通道时间差 $\Delta t$，相位为 $360^{\circ }\Delta t/T$，还要根据谁先到判断正负。探头地夹必须同地，不能跨接市电高端。

易错点是混用峰值与有效值，或把 $1/(j\omega C)$ 写成正虚部。自检：纯电容电流超前还是滞后电压？答案超前九十度。迁移练习：在一千赫兹下，$C=1.0\mu \mathrm{F}$ 的容抗大小是多少？答案 $1/(2\pi fC)\approx 159.2\Omega$，阻抗为 $-j159.2\Omega$。

下一课把每个频率的相量结果连成曲线，用 Bode 图读出增益、截止点、斜率和相位裕量。